Воспроизводство населения. Стабильное и стационарное население

Что такое воспроизводство населения什么是人口再生产

Определение定义

Воспроизводство населения — процесс смены поколений в результате естественного движения (рождаемости и смертности) при отсутствии или фиксированном уровне миграции.

Тип воспроизводства — качественная характеристика этого процесса в схожих социально-экономических условиях.

Расширенное — дочернее поколение больше материнского
Простое — поколения равны
Суженное — дочернее меньше материнского

人口再生产是指在无迁移或迁移保持固定水平的条件下，由自然变动（生育与死亡）引起的世代更替过程。

再生产类型是在相近社会经济条件下，对该过程的定性刻画。

扩大再生产——子代世代多于母代
简单型——两代规模相等
萎缩再生产——子代世代少于母代

Зачем нужна модель为什么需要模型

Реальное население живёт под непрерывно меняющимися режимами рождаемости, смертности и миграций. Чтобы сравнивать населения и периоды, строят гипотетические модели:

Стабильное — закрытое население с постоянными возрастными интенсивностями рождаемости и смертности
Стационарное — частный случай стабильного при нулевом приросте ($r=0$)

Модели работают как «стабильные эквиваленты» реального населения.

实际人口始终处于生育、死亡与迁移持续变动的条件之下。为了在不同人群或不同时期之间进行比较，人口学家构建了假设性模型：

稳定人口——年龄别生育率与死亡率恒定、封闭（无迁移）的人口
静止人口——稳定人口在零增长（$r=0$）时的特殊情形

这些模型可视为实际人口的"稳定等价物"。

Немного истории简要历史

Наведите курсор на имя — появится биографическая справка.将鼠标悬停在人名上可查看传记说明。

1677

М. Хейл — идея экспоненциального роста населения — 提出人口指数增长思想

1680

Г.В. Лейбниц — идея стационарного населения: «рождаемость всегда равна смертности, а численность каждого возраста неизменна» — 提出静止人口思想：出生等于死亡，各年龄人数保持不变

1693

Э. Галлей — первые таблицы смертности г. Бреслау, гипотеза закрытого населения — 编制布雷斯劳市最早的生命表，提出封闭人口假设

1760

Л. Эйлер — при неизменной смертности и экспоненциальном росте числа рождений возрастная структура стабилизируется — 证明：死亡率恒定且出生数按指数增长时，年龄结构趋于稳定

1907

Р. Кучинский — формулы TFR и брутто-коэффициента воспроизводства (GRR) — 提出总和生育率 (TFR) 与粗再生产率 (GRR) 的计算公式

1907–1948

А. Лотка и Ф. Шарп — математическое обоснование теории стабильного населения, уравнение Лотки и $r$ — 稳定人口理论的数学奠基，提出洛特卡方程与内在自然增长率 $r$

1911

Вл. Борткевич — применение гипотезы стабильного населения для восстановления возрастного состава — 利用稳定人口假设推算实际人口的年龄结构

1957

Э. Коул, А. Лопес — теорема о слабой эргодичности: любое население «забывает» свою исходную структуру — 弱遍历性定理：任何人口最终都将"遗忘"其初始年龄结构

1971

Н. Кейфиц — momentum роста: рост населения продолжается после падения рождаемости до уровня простого воспроизводства — 人口增长惯性：生育率降至更替水平后，人口仍继续增长

Коэффициенты воспроизводства再生产率

Суммарный коэффициент рождаемости (TFR)总和生育率 (TFR)

Среднее число детей, которое родила бы женщина, прожившая весь репродуктивный период при сохранении текущей возрастной рождаемости.

在当前年龄别生育率保持不变的情况下，一个妇女经历整个生育期平均所生子女数。

$$\mathrm{TFR} = n \cdot \sum_{x=15}^{49} f(x)$$

где $n$ — длина возрастного интервала (5 лет), $f(x)$ — возрастной коэффициент рождаемости.

其中 $n$ 为年龄组长度（5 岁），$f(x)$ 为年龄别生育率。

Брутто-коэффициент (GRR)粗再生产率 (GRR)

Среднее число девочек, которое родила бы женщина, дожившая до конца репродуктивного периода.

活到生育期结束的一位妇女平均所生女婴数。

$$\mathrm{GRR} = n \cdot \sum_{x=15}^{49} f_{\text{дев}}(x) = \mathrm{TFR} \cdot \frac{100}{100+\mathrm{SRB}}$$

SRB ≈ 105 — число мальчиков на 100 девочек при рождении. Доля девочек ≈ 100/205 ≈ 0.488.

SRB ≈ 105 — 出生性别比（每 100 个女婴对应 105 个男婴），女婴比例约 100/205 ≈ 0.488。

Р. Кучинский (1907) — автор формул TFR и GRR.—— 提出 TFR 与 GRR 公式 (1907)。

Нетто-коэффициент воспроизводства (NRR, R₀)净再生产率 (NRR, R₀)

Количественная мера замещения материнского поколения дочерним с учётом смертности — сколько девочек, доживших до возраста матери, в среднем родит одна женщина.

在考虑死亡率的情况下，母代被女代替换的数量度量：一位妇女平均所生、并能活到母亲年龄的女婴数。

$$\mathrm{NRR} = \sum_{x=15}^{49} f_{\text{дев}}(x) \cdot \frac{{}_nL_x}{l_0}$$

NRR > 1 — расширенное воспроизводство—— 扩大再生产 ($r>0$)

NRR = 1 — простое воспроизводство—— 简单再生产 ($r=0$)

NRR < 1 — суженное воспроизводство—— 萎缩再生产 ($r<0$)

Внимание! NRR — это мера замещения только в рамках модели стабильного населения. Россия-1997: NRR = 0.57 — это не означает, что население сократится на 43% через 25 лет!

注意！NRR 仅在 稳定人口模型假设下 才是替代指标。俄罗斯 1997 年 NRR = 0.57 并不意味着人口会在 25 年内减少 43 %！

Истинный коэффициент естественного прироста $r$ (коэффициент Лотки)内在自然增长率 $r$（洛特卡系数）

$$r = \frac{\ln \mathrm{NRR}}{T}, \qquad T \approx \overline{\text{возраст матери при рождении дочери}}$$

T — длина поколения (mean length of generation), обычно 25–30 лет. Равна среднему возрасту матери при рождении дочери, дожившей до возраста матери. По Preston (2001): практически всегда $T \in [26;33]$, модальное значение 27–28.

T —— 世代长度 / 平均世代间隔 (mean length of generation)，通常 25–30 年，等于母亲生育并活到自身年龄的女儿的平均年龄。据 Preston (2001)：几乎总有 $T \in [26;33]$，众数在 27–28。

Связь с другими показателями:

与其他指标的关系：

$$\mathrm{TFR} = (1+\mathrm{SRB})\cdot\mathrm{GRR} = \frac{1+\mathrm{SRB}}{p(\mathrm{MAF})}\cdot\mathrm{NRR}$$

Здесь $p(\mathrm{MAF})$ — вероятность матери дожить до среднего возраста материнства.

其中 $p(\mathrm{MAF})$ 为母亲活到平均生育年龄的概率。

Разложение $r$ по Preston (2001)按 Preston (2001) 分解 $r$

Подставив $\mathrm{NRR} = \mathrm{TFR}\cdot S \cdot p(A_M)$ в формулу $r=\ln\mathrm{NRR}/T$, получаем элегантное разложение:

将 $\mathrm{NRR} = \mathrm{TFR}\cdot S \cdot p(A_M)$ 代入 $r=\ln\mathrm{NRR}/T$，得到优雅的分解式：

$$r = \frac{\ln \mathrm{TFR} + \ln S + \ln p(A_M)}{T}$$

где $S$ — доля девочек среди новорождённых (≈ 0,488), $p(A_M)$ — вероятность дожить до среднего возраста материнства, $A_M$ — средний возраст матери при рождении.

其中 $S$ 为新生儿中女婴比例（≈ 0.488），$p(A_M)$ 为活到平均生育年龄的概率，$A_M$ 为平均生育年龄。

Ключевой вывод. Рождаемость и смертность влияют на $r$ аддитивно через логарифмы, а не мультипликативно: чтобы оценить эффект изменения TFR на долгосрочный рост населения, знать уровень смертности не нужно.

关键结论。生育率与死亡率通过对数加性地影响 $r$，而非乘法关系：估计 TFR 变化对长期人口增长的影响时，无需知道死亡率水平。

Более того, $r$ зависит от логарифма TFR — поэтому падение TFR с 6 до 4 и с 3 до 2 даёт одинаковый эффект на коэффициент прироста. Снижение рождаемости имеет увеличивающуюся отдачу по мере приближения к низким значениям.

此外，$r$ 依赖于 TFR 的对数——因此 TFR 从 6 降到 4 与从 3 降到 2 产生相同的 r 变化。在低生育水平附近，每降低一点都对长期增长率产生更大影响。

Пример из Preston. Падение TFR на одного ребёнка в Европе (с ≈ 1,45 до 0,45) уменьшило бы $r$ на −0,043 в год, а в Африке (с 5,31 до 4,31) — лишь на −0,008. Один и тот же абсолютный сдвиг TFR даёт радикально разный демографический эффект.

Preston 的例子：若 TFR 减少 1，欧洲（从 ≈ 1.45 降到 0.45）会使 $r$ 每年下降 0.043；而非洲（从 5.31 降到 4.31）仅下降 0.008。同一绝对变化产生截然不同的人口学效应。

«Цена» простого воспроизводства $\rho$简单再生产"成本" $\rho$

$$\rho = \frac{\mathrm{GRR}}{\mathrm{NRR}}$$

Показывает, сколько девочек в среднем нужно родить одной женщине, чтобы обеспечить простое замещение материнского поколения при текущей смертности. Чем больше $\rho$ — тем ниже экономичность режима воспроизводства (и тем выше детская и репродуктивная смертность).

表示在现行死亡率下，一位妇女平均需生育多少女儿才能实现母代的简单替代。$\rho$ 越大，再生产越不经济（即儿童与育龄期死亡率越高）。

Брутто-коэффициент и нетто-коэффициент воспроизводства粗再生产率与净再生产率 · Gross & Net Reproduction Rates · Брутто- и нетто-коэффициенты воспроизводства

Введите возрастные коэффициенты рождаемости $f(x)$ (на одну женщину, умножено на 1000) и числа живущих ${}_5L_x$ из таблицы смертности. Длина интервала $n=5$, начальная численность когорты $l_0 = 100\,000$, SRB = 105.

请输入年龄别生育率 $f(x)$（每千女性）和生命表中的 ${}_5L_x$。年龄组长度 $n=5$，初始队列 $l_0 = 100\,000$，SRB = 105。

Возраст x年龄 x	ASFR f(x), ‰年龄别生育率 f(x), ‰	₅L_x	f(x)·L(x)/l₀

Подсказка提示

TFR в нашей таблице рассчитывается как $5\cdot\sum f(x)/1000$.

本表中 TFR 计算为 $5\cdot\sum f(x)/1000$。

GRR = TFR × 100 / (100 + SRB).

GRR = TFR × 100 / (100 + SRB)。

NRR = $\sum f(x)\cdot L_x / l_0 / 1000 \cdot 100/(100+\mathrm{SRB})$.

NRR = $\sum f(x)\cdot L_x / l_0 / 1000 \cdot 100/(100+\mathrm{SRB})$。

Правильный ответ — Россия 2000标准答案 — 俄罗斯 2000

TFR ≈ 1.195, GRR ≈ 0.583, NRR ≈ 0.551, $r$ ≈ −0.022. Суженное воспроизводство: каждое следующее поколение на ~45% меньше предыдущего в рамках стабильной модели.

TFR ≈ 1.195, GRR ≈ 0.583, NRR ≈ 0.551, $r$ ≈ −0.022。萎缩再生产：在稳定模型中，每代人比前代少约 45%。

Модель стабильного населения稳定人口模型 · Stable Population Model · Модель стабильного населения

Стабильное население — теоретическое закрытое население с неизменными во времени возрастными интенсивностями рождаемости $f(x)$, смертности $l(x)$ и, как следствие, неизменной возрастной структурой $c(x)$.

稳定人口 —— 理论上的封闭人口，其年龄别生育率 $f(x)$ 与死亡率 $l(x)$ 随时间恒定，因此年龄结构 $c(x)$ 也保持不变。

Уравнение Лотки洛特卡方程 · Lotka’s equation · Уравнение Лотки

$$B(t) = \int_{0}^{\omega} B(t-x)\,l(x)\,f(x)\,dx$$

Описывает траекторию рождений $B(t)$. Подставляя $B(t)=B(0)e^{rt}$, получаем характеристическое уравнение стабильного населения:

该方程描述出生数 $B(t)$ 的轨迹。代入 $B(t)=B(0)e^{rt}$ 得 稳定人口的特征方程：

$$\int_{0}^{\omega} e^{-rx}\,l(x)\,f(x)\,dx = 1$$

У него единственный действительный корень — истинный коэффициент естественного прироста $r$.

其有唯一实根 —— 内在自然增长率 $r$。

Теорема 定理 Лотки–Шарпа (1911)

Закрытое население, в котором возрастные интенсивности рождаемости и смертности с определённого момента стали постоянными, со временем будет иметь неизменную возрастную структуру, постоянные общие коэффициенты и коэффициент естественного прироста. Такое население называют асимптотически стабильным, а процесс приближения к пределу — стабилизацией.

在一个封闭人口中，若年龄别生育率与死亡率从某时起保持不变，则随时间推移将形成 恒定的年龄结构、恒定的粗率与自然增长率。此种人口称为 渐近稳定人口，其趋近极限的过程称为 稳定化。

Свойство эргодичности遍历性 · Ergodicity · Эргодичность

Сильная эргодичность强遍历性 · Strong ergodicity · Сильная эргодичность (Лотка)

Если в реальном населении с некоторого момента установятся неизменные интенсивности рождаемости и смертности, то возрастная структура «забывает» свою исходную форму и сходится к единому стабильному пределу.

若实际人口自某时刻起保持恒定的年龄别生育率与死亡率，则年龄结构将"遗忘"其初始形态，并收敛至唯一的稳定极限。

Слабая эргодичность弱遍历性 · Weak ergodicity · Слабая эргодичность (Коул, Лопес)

Даже при непрерывно меняющихся рождаемости и смертности влияние исходной структуры постепенно ослабевает. Любое население удаляется от своей возрастной структуры далёкого прошлого.

即使生育率与死亡率持续变化，初始年龄结构的影响也会逐步减弱。任何人口都会逐渐远离其久远过去的年龄结构。

Стабильный эквивалент реального населения实际人口的稳定等价 · Stable equivalent of real population · Стабильный эквивалент реального населения

Для каждого реального населения с текущими $m(a)$ и $p(a)$ существует единственное стабильное население, которое возникло бы, если бы эти интенсивности сохранялись неограниченно долго. Это и есть «стабильный эквивалент».

对于任何实际人口，基于其当前的 $m(a)$ 与 $p(a)$，都存在唯一的 稳定人口——若这些强度无限期保持不变所产生的人口。这就是"稳定等价人口"。

Его характеристики — стабильные rate рождаемости, смертности и возрастной прирост — называют intrinsic («собственными»): они зависят только от $m(a)$, $p(a)$ и не зависят от нерегулярной текущей возрастной структуры.

其指标——稳定的粗出生率、粗死亡率、自然增长率——称为 内禀指标 (intrinsic)：仅取决于 $m(a)$ 与 $p(a)$，与当前实际年龄结构无关。

Основные уравнения стабильного населения:

稳定人口的基本方程：

$$b = \frac{1}{\int_0^\omega e^{-ra}\,p(a)\,da}, \qquad c(a) = b\,e^{-ra}\,p(a), \qquad \int_\alpha^\beta e^{-ra}\,p(a)\,m(a)\,da = 1$$

Здесь $b$ — стабильный общий коэффициент рождаемости, $c(a)$ — стабильная возрастная структура.

其中 $b$ 为稳定粗出生率，$c(a)$ 为稳定年龄结构。

Примеры (Preston, 2001).

США, 1991: NRR = 0,996, r = −0,00018, b = 0,0126, d = 0,0128 — стабильный эквивалент почти стационарен.
美国 1991：NRR = 0.996，r = −0.00018，b = 0.0126，d = 0.0128 —— 稳定等价近似静止。
Египет, 1997: NRR = 1,53, r = +0,0142 — быстрорастущий стабильный эквивалент с длинной пирамидой молодёжи.
埃及 1997：NRR = 1.53，r = +0.0142 —— 快速增长的稳定等价，年龄金字塔底部宽大。
Германия, 1995–2000: r = −0,0198 — долгосрочно убывающий режим.
德国 1995–2000：r = −0.0198 —— 长期萎缩型。

Метод Коула для расчёта 科尔 (Coale) 求解方法 $r$

Точное значение $r$ из характеристического уравнения Лотки находится итерационно. Коул (1957) предложил быстрый алгоритм:

洛特卡特征方程中 $r$ 的精确值需用迭代法求得。Coale (1957) 提出了一个快速算法：

Начальное приближение: $r_0 = \dfrac{\ln \mathrm{NRR}}{27}$.
初值：$r_0 = \dfrac{\ln \mathrm{NRR}}{27}$。
Вычислить $\psi(r_n) = \displaystyle\sum_{a} e^{-r_n(a+2{,}5)}\cdot{}_5L_a\cdot{}_5m_a$.
计算 $\psi(r_n) = \displaystyle\sum_{a} e^{-r_n(a+2{,}5)}\cdot{}_5L_a\cdot{}_5m_a$。
Уточнить: $r_{n+1} = r_n + \dfrac{\psi(r_n) - 1}{27}$.
修正：$r_{n+1} = r_n + \dfrac{\psi(r_n) - 1}{27}$。
Повторять, пока $\psi(r_n)$ не станет достаточно близким к 1.
重复直到 $\psi(r_n)$ 充分接近 1。

Обычно достаточно 2–3 итераций. Пример из Preston для Египта 1997 г.: NRR = 1,53 → $r_0 = 0{,}01569$ → $r_1 = 0{,}01415$ → $r_2 = 0{,}01425$ → $r_3 = 0{,}01424$.

通常 2–3 次迭代即可收敛。Preston 埃及 1997 年例：NRR = 1.53 → $r_0 = 0{,}01569$ → $r_1 = 0{,}01415$ → $r_2 = 0{,}01425$ → $r_3 = 0{,}01424$。

Интерактив: эргодичность — как население «забывает» исходную структуру互动：遍历性——人口如何"遗忘"初始结构

На графике — отношение $B(t) / B_{\text{стаб}}(t)$: насколько траектория рождений с начальным возмущением отклоняется от стабильной экспоненты. Единица означает, что возмущение полностью «забыто» и население достигло стабильного состояния.

图中为 $B(t) / B_{\text{stab}}(t)$ 的比率：带初始扰动的出生轨迹偏离稳定指数曲线的程度。等于 1 意味着扰动被完全"遗忘"，人口已达稳定。

NRR (нетто):NRR（净值）： 1.20

Длина поколения T, лет:世代长度 T（年）： 28

Синяя пунктирная линия на уровне 1 — стабильное население. Бордовая кривая — реальная траектория с начальным возмущением. Чем больше прошло поколений, тем ближе она к 1 (сильная эргодичность).

蓝色虚线水平 = 1 —— 稳定人口。酒红色曲线 —— 带初始扰动的实际轨迹。经历的世代越多，越接近 1（强遍历性）。

Модель стационарного населения静止人口模型 · Stationary Population Model · Модель стационарного населения

Stationarius (лат.) — неподвижный. Это частный случай стабильного населения, когда $r = 0$ и все демографические параметры постоянны во времени:

Stationarius（拉丁语"不动"）。这是稳定人口在 $r = 0$ 时的特例，所有人口学参数随时间保持不变：

абсолютные числа рождений и смертей равны и неизменны
численность населения неизменна
возрастная структура неизменна
возрастные интенсивности смертности заданы таблицей смертности

年出生数与年死亡数相等且保持不变
人口规模保持不变
年龄结构保持不变
年龄别死亡率由生命表给定

Таблица смертности = стационарное население生命表 = 静止人口

Параметр	Из таблицы смертности	В стационарном населении
参数	生命表含义	静止人口含义
$m(x)$	табл. коэффициент смертности	возр. коэффициент смертности
$m(x)$	生命表死亡率	年龄别死亡率
$L(x)$	человеко-лет в интервале	число живущих в возрасте x
$L(x)$	区间人年数	x 岁存活人数
$T(0)$	чел.-лет для новорождённых	общая численность
$T(0)$	新生儿总人年数	总人口规模
$l_0$	корень таблицы	число родившихся за год
$l_0$	生命表基数	年出生数
$e_0$	ОПЖ при рождении	средний возраст умерших
$e_0$	出生时预期寿命	死者平均年龄

Ключевые равенства关键等式

$$b = d = \frac{l_0}{T(0)} = \frac{1}{e_0}$$

Общие коэффициенты рождаемости и смертности равны обратной продолжительности жизни.

粗出生率与粗死亡率均等于预期寿命的倒数。

$$\text{доля в возрасте } x = \frac{L(x)}{T(0)}$$

Пример: «Буфет с соком»示例："果汁自助餐厅"

Условие. В университетский буфет каждое утро завозят партию пакетов сока. В первый день покупают 70 % упаковок, во второй — 10 % остатка, в третий — 20 % остатка, в четвёртый — всё, что осталось. После четвёртого дня нераспроданные пакеты списывают.

条件。大学自助餐厅每天清晨到货一批果汁包装。第 1 天售出 70 %，第 2 天售出剩余的 10 %，第 3 天售出剩余的 20 %，第 4 天全部售完。第 4 天后未售出的包装报废。

Вопросы.

问题。

Сколько пакетов в среднем стоит на полке в любой момент времени?
Каков средний срок реализации одной упаковки?
Сколько упаковок нужно завозить ежедневно, если магазин хочет держать на полке, скажем, 1286 пакетов?

任一时刻货架上平均有多少包装？
单件包装的平均销售周期为多少？
若希望货架始终保持 1286 件包装，每日须补货多少？

Постановка в терминах стационарного населения

用静止人口术语的表述

Смотрим на поток упаковок как на стационарное «население»:

将包装的流视为静止"人口"：

«рождение» = завоз утром → $l_0$ — число упаковок в ежедневной партии;
«смерть» = покупка или списание → ${}_1q_x$ — вероятность упаковки «умереть» в день $x$;
«численность населения» = $T(0) = \sum {}_1L_x$ — сколько упаковок одновременно лежит на полке;
«ожидаемая продолжительность жизни» = $e_0 = T(0)/l_0$ — средний срок реализации.

"出生" = 清晨到货 → $l_0$ 为每日补货量；
"死亡" = 售出或报废 → ${}_1q_x$ 为包装在第 $x$ 天"死亡"的概率；
"人口规模" = $T(0) = \sum {}_1L_x$ 为货架上同时存在的包装数；
"预期寿命" = $e_0 = T(0)/l_0$ 为平均销售周期。

Решение по таблице смертности

用生命表求解

Возьмём условную когорту $l_0 = 1000$ упаковок. Наведите курсор на любое число — появится разъяснение, откуда оно взялось.

取假设队列 $l_0 = 1000$ 件包装。将鼠标悬停于任一数字即可查看其计算来源。

день x第 x 天	${}_1q_x$	$l_x$	${}_1L_x$	$T_x$	$e_x$
0	0,70	1000	650	1286	1,29
1	0,10	300	285	636	2,12
2	0,20	270	243	351	1,30
3	1,00	216	108	108	0,50

Общие формулы столбцов.

各列通用公式。

$l_{x+1} = l_x\,(1-{}_1q_x)$ — число упаковок, «доживших» до начала дня $x+1$;
${}_1L_x = (l_x + l_{x+1})/2$ — среднее число живущих в течение дня $x$ (в предположении равномерной покупки);
$T_x = \sum_{y \geq x} {}_1L_y$ — суммарное число пакето-дней, которое предстоит прожить упаковкам, дожившим до дня $x$;
$e_x = T_x/l_x$ — средний остаточный срок.

$l_{x+1} = l_x\,(1-{}_1q_x)$ 为"存活"至第 $x+1$ 天的包装数；
${}_1L_x = (l_x + l_{x+1})/2$ 为第 $x$ 天的平均在架数（假定购买均匀分布）；
$T_x = \sum_{y \geq x} {}_1L_y$ 为存活至第 $x$ 天的包装的剩余总包装—日数；
$e_x = T_x/l_x$ 为平均剩余销售周期。

Ответы

解答

Количество пакетов на полке = $T(0) = 650 + 285 + 243 + 108 = 1286$ шт. Именно столько упаковок одновременно находится в буфете при установившемся режиме.
Средний срок реализации = $e_0 = T(0)/l_0 = 1286/1000 = 1{,}29$ дня. Для «свежезавезённой» упаковки средний оставшийся срок ≈ 1,3 дня.
Ежедневный завоз = $l_0$. Если хотим держать $T(0)=1286$ пакетов на полке — завозим $l_0 = T(0)/e_0 = 1000$ упаковок в день. Для другой целевой численности на полке завоз меняется пропорционально.

货架上的包装数 = $T(0) = 650 + 285 + 243 + 108 = 1286$ 件。即稳态下餐厅同时存放的包装数。
平均销售周期 = $e_0 = T(0)/l_0 = 1286/1000 = 1{,}29$ 天。新到货包装的平均剩余周期约 1.3 天。
每日补货量 = $l_0$。若希望货架保持 $T(0)=1286$ 件 —— 每天补货 $l_0 = T(0)/e_0 = 1000$ 件。其他目标数按比例调整。

Чему учит пример. Таблица смертности и её интегральные функции ${}_nL_x$, $T_x$, $e_x$ — это не только про людей. Любой поток с фиксированными вероятностями «выбытия» (склад с сроком годности, койки в роддоме, штат сотрудников) описывается той же моделью стационарного населения. Коэффициент $1/e_0$ работает и как «общий коэффициент рождаемости» в населении, и как оборачиваемость запасов в складе.

本例的启示。生命表及其积分函数 ${}_nL_x$、$T_x$、$e_x$ 不仅适用于人口。任何具有固定"退出"概率的过程——带保质期的仓储、产科床位、员工编制——均可用静止人口模型描述。系数 $1/e_0$ 既作为人口的粗出生率，也作为仓储周转率。

Применения модели стационарного населения静止人口模型的应用

Эталон при сравнении демографических процессов разных населений
Метод смертных списков для таблиц смертности в палеодемографии
Гипотеза в основе долгосрочных прогнозов ООН
Актуарные расчёты

不同人口比较时的基准
古人口学中基于死亡名册的生命表构建
联合国长期预测的基础假设
精算计算

Прогноз коек в роддоме по срокам пребывания
Управление запасами и сроками годности
Оценка стажа работников и численности штата
Реинжиниринг процессов с циклом «приход → уход»

基于住院时长预测产科床位需求
库存与保质期管理
员工工龄与编制估算
"进入 → 离开"循环流程再造

Momentum: инерция роста населения人口增长惯性 · Population growth momentum · Импульс (momentum) роста населения

Кейфиц (1971). Даже если в растущем стабильном населении рождаемость мгновенно упадёт до уровня простого воспроизводства (NRR = 1) и останется таковой, население продолжит расти ещё 50–70 лет — за счёт «молодой» возрастной структуры, унаследованной от прежнего режима. Этот коэффициент роста называется momentum:

凯菲茨 (1971)。即使在一个增长型稳定人口中，生育率 瞬时降至更替水平（NRR = 1）并保持不变，人口仍将 继续增长 50–70 年 —— 这是由前一模式遗留的"年轻"年龄结构造成的。这一增长系数称为 增长惯性 (momentum)：

$$M = \frac{N_s}{N_0} = \int_0^\beta \frac{c(a)}{c_s(a)}\,w(a)\,da$$

где $c(a)$ — текущая возрастная структура, $c_s(a)$ — стационарная, $w(a)$ — весовая функция ожидаемых рождений в возрасте старше $a$ при режиме простого воспроизводства.

其中 $c(a)$ 为当前年龄结构，$c_s(a)$ 为静止年龄结构，$w(a)$ 为更替水平下高于年龄 $a$ 的期望出生数权重函数。

Интуиция: если молодёжи в текущей структуре относительно больше, чем в стационарной, momentum > 1 — население вырастет. Если меньше (как в Европе) — momentum < 1, население будет сокращаться.

直观理解：若当前年龄结构中青年人比例高于静止结构，则 momentum > 1 —— 人口将增长；若较低（如欧洲），momentum < 1 —— 人口将减少。

Таблица 7.6 Preston — momentum по регионам (если в 1997 г. ввести NRR = 1)

Preston 表 7.6 —— 各区域增长惯性（若 1997 年设 NRR = 1）

регион / страна	momentum M	рост/убыль
区域 / 国家	惯性 M	增/减
Африка非洲	1,56	+56 %
Западная Азия西亚	1,56	+56 %
Юго-Восточная Азия东南亚	1,48	+48 %
Латинская Америка拉丁美洲	1,48	+48 %
Южно-Центральная Азия南中亚	1,47	+47 %
Мир в целом全球	1,35	+35 %
Восточная Азия东亚	1,22	+22 %
Северная Америка北美	1,10	+10 %
Европа (в среднем)欧洲（平均）	0,98	−2 %
Австрия奥地利	0,96	−4 %
Россия俄罗斯	0,94	−6 %
Италия意大利	0,91	−9 %
Германия德国	0,88	−12 %

Политическое значение. Keyfitz (1971) показал, что одного лишь снижения рождаемости до уровня простого воспроизводства недостаточно для остановки роста населения — особенно в быстрорастущих странах. Это открытие оказало влияние на политику ООН и национальные программы планирования семьи 1970–80-х гг.

Практические задачи习题

Задача 1. Родильный дом习题 1. 产科医院

За неделю в роддом поступает 10 новорождённых. Вероятность уехать домой в течение $x$-й недели пребывания: ${}_1q_0=0{,}3$, ${}_1q_1=0{,}1$, ${}_1q_2=0{,}2$, ${}_1q_3=0{,}4$, ${}_1q_4=0{,}7$, ${}_1q_5=1$.

某产科医院每周接收 10 名新生儿。在住院的第 $x$ 周内离院的概率为：${}_1q_0=0{,}3$, ${}_1q_1=0{,}1$, ${}_1q_2=0{,}2$, ${}_1q_3=0{,}4$, ${}_1q_4=0{,}7$, ${}_1q_5=1$。

Сколько коек нужно, чтобы разместить всех младенцев?
Каков средний срок пребывания?

需要多少张床位才能容纳所有新生儿？
新生儿的平均住院时间是多少？

x, недx（周）	${}_1q_x$	$l_x$	${}_1L_x$	$T_x$	$e_x$
0	0,3	10,00	8,50	27,27	2,73
1	0,1	7,00	6,65	18,77	2,68
2	0,2	6,30	5,67	12,12	1,92
3	0,4	5,04	4,03	6,45	1,28
4	0,7	3,02	1,97	2,42	0,80
5	1,0	0,91	0,45	0,45	0,50

Задача 2. Страна Экватория习题 2. 赤道国

В Экватории каждый год заключается 100 браков. Страна островная, миграции нет. По переписи 2023 года в стране состоят в браке 2100 пар — столько же было и во всех предыдущих переписях. За 2023 г. было 30 разводов и 100 браков. Учёт смертности не ведётся.

赤道国每年缔结 100 对婚姻。该国为岛国、无迁移。2023 年人口普查记录在婚夫妇 2100 对——与此前历次普查数据完全相同。2023 年共发生 30 起离婚和 100 起结婚。该国不统计死亡数据。

Какова средняя продолжительность брака?
Какова вероятность развода? Вероятность овдовения?

平均婚姻持续时间是多少？
离婚概率是多少？丧偶概率能否估计？

Шаг 1. Опознать стационарное население. Численность состоящих в браке неизменна — значит число «рождений» (новых браков) равно числу «смертей» (распавшихся браков). Применяется модель стационарного населения к совокупности «существующих браков».

步骤 1. 识别静止人口。在婚夫妇数保持不变——意味着"出生数"（新缔结婚姻）等于"死亡数"（解除婚姻）。对"现存婚姻"的总体应用静止人口模型。

обозначение	смысл	значение
符号	含义	数值
$l_0$	ежегодные новые браки每年新婚数	100
$T(0)$	число живущих браков现存婚姻数	2100
$e_0$	средний срок брака婚姻平均持续时间	21 год
всего распадов в год每年解除总数	= числу новых= 新婚数	100
из них разводов其中离婚	дано题设给定	30

Шаг 2. Ответить на вопросы.

Средняя продолжительность брака = $e_0 = T(0)/l_0 = 2100/100 = 21$ год.
Вероятность развода в расчёте на один заключённый брак = 30/100 = 0,30. То есть 30 % браков в конечном счёте заканчиваются разводом.
Вероятность овдовения оценить нельзя: из 100 распадов 30 — разводы, а оставшиеся 70 могут быть вдовством, смертью обоих, эмиграцией или иной причиной. Данных о смертности нет, разделить 70 между причинами мы не можем.

步骤 2. 作答。

平均婚姻持续时间 = $e_0 = T(0)/l_0 = 2100/100 = 21$ 年。
每例婚姻的离婚概率 = 30/100 = 0,30。即最终有 30 % 的婚姻以离婚告终。
丧偶概率无法估计：100 例解除婚姻中 30 例为离婚，其余 70 例可能为丧偶、双亡、迁移或其他原因。在缺少死亡率数据的情况下，无法进一步细分这 70 例。

Задача 3. Фирма А и фирма В习题 3. 公司 A 与公司 B

Коэффициенты выбытия рабочих: в фирме А $q_x = 0{,}5$ каждый год стажа; в фирме В — 0,667, 0,5, 0,3, 0,25, 0,2, 0,067, 1.

员工离职率：公司 A 每年工龄均为 $q_x = 0{,}5$；公司 B 为 0,667、0,5、0,3、0,25、0,2、0,067、1。

Средний стаж работника каждой фирмы.
Сколько работников ежегодно нужно нанимать при штате 1000?

两公司员工的平均工龄。
若员工总数为 1000，每年需招聘多少人？

Фирма А. Постоянная вероятность выбытия даёт геометрическое «дожитие»: $l_x = 1000\cdot 0{,}5^x$.

公司 A。离职率恒定，生存数呈几何衰减：$l_x = 1000\cdot 0{,}5^x$。

x, летx（年）	$q_x$	$l_x$	$L_x$	$T_x$	$e_x$
0	0,5	1000	750	≈1498	≈1,50
1	0,5	500	375	748	1,50
2	0,5	250	187,5	373	1,49
3	0,5	125	93,75	186	1,48
…	0,5	…	…	…	→ 1,44

Фирма В. Набор вероятностей задан «в таблицу».

公司 B。离职率按表格给出。

x	$q_x$	$l_x$	$L_x$	$T_x$	$e_x$
0	0,667	1000	666,5	≈1339	≈1,34
1	0,5	333	249,8	672	2,02
2	0,3	166,5	141,5	422	2,54
3	0,25	116,6	102,0	281	2,41
4	0,2	87,4	78,7	179	2,05
5	0,067	69,9	67,6	100	1,43
6	1,0	65,2	32,6	33	0,50

Шаг 2. Найм при штате 1000. В стационарной модели численность штата равна $T(0)$, если ежегодный найм равен $l_0$. Требуется подобрать $l_0$, чтобы $T(0) = 1000$. Из пропорций: $l_0^{\text{нужный}} = 1000\,/\,e_0$.

Фирма А: $l_0 = 1000/1{,}50 \approx$ 667 чел./год.
Фирма В: $l_0 = 1000/1{,}34 \approx$ 747 чел./год.

Вывод: при одинаковом среднем «возрасте жизни» работника (≈1,3–1,5 года) обе фирмы обречены ежегодно перебирать больше половины штата. Однако структура выбытия у В щадящая по отношению к опытным работникам ($q_5=0{,}067$), у А — равномерная и потому более разрушительная.

步骤 2. 员工数为 1000 时的年招聘量。在静止模型中，若年招聘为 $l_0$，则员工总数等于 $T(0)$。要使 $T(0) = 1000$，由比例关系：$l_0^{\text{所需}} = 1000\,/\,e_0$。

公司 A：$l_0 = 1000/1{,}50 \approx$ 667 人/年。
公司 B：$l_0 = 1000/1{,}34 \approx$ 747 人/年。

结论：两公司员工平均"在职寿命"相近（约 1.3–1.5 年），每年均须更换一半以上员工。但公司 B 对资深员工更"友好"（$q_5=0{,}067$），公司 A 各工龄段离职率均匀，反而更具破坏性。

Задача 4. NRR и «цена» воспроизводства习题 4. NRR 与再生产"成本"

В стране Z: TFR = 1,8, SRB = 105 мальчиков на 100 девочек при рождении, вероятность дожить до среднего возраста матери $p(\mathrm{MAF}) = 0{,}96$, длина поколения T = 28 лет. Рассчитайте GRR, NRR, $r$ и «цену» простого воспроизводства.

Z 国：TFR = 1,8，SRB = 105（每 100 女婴对应 105 男婴），活到母亲平均生育年龄的概率 $p(\mathrm{MAF}) = 0{,}96$，平均世代间隔 T = 28 年。请计算 GRR、NRR、$r$ 以及简单再生产的"成本"。

показатель	формула	подстановка	ответ
GRR	$\mathrm{TFR}\cdot\dfrac{100}{100+\mathrm{SRB}}$	1,8 · 100/205	0,878
NRR	$\mathrm{GRR}\cdot p(\mathrm{MAF})$	0,878 · 0,96	0,843
r	$\dfrac{\ln \mathrm{NRR}}{T}$	ln(0,843)/28	−6,1 ‰/год
$\rho$ — цена	$\mathrm{GRR}/\mathrm{NRR}$	0,878 / 0,843	1,042

Задача 5. Итерационный расчёт $r$ по методу Коула (Египет, 1997)习题 5. 用科尔迭代法计算 $r$（埃及, 1997）

Задача из Preston (2001), Box 7.1. По данным Египта 1997 г.: NRR = 1,53 дочери на женщину. Найти истинный коэффициент естественного прироста $r$ методом Коула.

选自 Preston (2001) Box 7.1。1997 年埃及：NRR = 1.53 女/妇。请用科尔迭代法求解内在自然增长率 $r$。

шаг	$r_n$	$\psi(r_n)$	поправка	$r_{n+1}$
0	0,01569	0,95838	−0,00154	0,01415
1	0,01415	1,00289	+0,00011	0,01425
2	0,01425	0,99973	−0,00001	0,01424
3	0,01424	1,00002	≈0	сходится收敛

Задача 6. Momentum Германии и Нигерии习题 6. 德国与尼日利亚的增长动量

По данным Preston (2001), Germany 1997: momentum M = 0,88; Nigeria (Африка): M = 1,56. Население Германии в 1997 г. — 82 млн, Нигерии — 117 млн.

据 Preston (2001)：1997 年德国 momentum M = 0,88；尼日利亚（非洲）M = 1,56。德国 1997 年人口 8200 万，尼日利亚 11 700 万。

Если в 1997 г. обе страны мгновенно переходят к NRR = 1, какой будет их численность в долгосрочном пределе?
Почему в Германии momentum меньше 1, хотя рождаемость тоже «выровняется» к уровню простого воспроизводства?

若两国在 1997 年瞬时使 NRR = 1，长期稳定后的人口规模各为多少？
为什么德国的 momentum < 1，尽管生育率也"恢复"到更替水平？

страна	N₀ (1997)	momentum M	N∞ = M · N₀	изменение
国家	N₀ (1997)	惯性 M	N∞ = M · N₀	变化
Германия	82 млн8200 万	0,88	≈ 72 млн≈ 7220 万	−12 %
Нигерия尼日利亚	117 млн1.17 亿	1,56	≈ 183 млн≈ 1.83 亿	+56 %

Почему Германия теряет население при NRR = 1? К 1997 г. немецкая возрастная пирамида уже деформирована предшествующим низким уровнем рождаемости: доля детей и молодых женщин ($a < 30$) меньше, чем в стационарной пирамиде, соответствующей немецкой таблице смертности. Когда вводится NRR = 1, эта «недомолодёженная» когорта становится родителями будущих когорт — в абсолютных числах рождений окажется меньше, чем требует стационар. Процесс замещения выравнивает пирамиду на более низком уровне.

为什么 NRR = 1 时德国人口仍减少？1997 年德国年龄金字塔已因此前长期低生育率而变形：儿童及青年女性（$a < 30$）的占比低于德国生命表所对应的静止金字塔。NRR = 1 的规则使这一"偏少的"队列成为未来队列的父母——绝对出生数将低于静止状态所需。替代过程最终会在更低的水平上将金字塔拉平。

Почему Нигерия растёт? Противоположная ситуация: огромный «молодёжный бугор» в пирамиде ещё должен пройти через репродуктивный возраст. Даже если каждая из этих женщин родит только одну дочь, абсолютное число рождений в ближайшие 20–30 лет будет ещё высоко — популяция продолжит расти до новой точки равновесия.

为什么尼日利亚仍增长？情形相反：金字塔中庞大的"青年隆起"尚需经过生育年龄。即使每位妇女只生一个女儿，未来 20–30 年内出生的绝对数仍将很高，人口将继续增长至新的平衡点。

Политический вывод (Keyfitz, 1971). Остановить рост населения снижением рождаемости до уровня простого воспроизводства недостаточно: стабилизация возрастной структуры занимает 50–70 лет, и всё это время население продолжает расти по инерции. Реальные демографические программы должны учитывать этот «лаг».

政策启示 (Keyfitz, 1971)。仅靠将生育率降至更替水平不足以阻止人口增长：年龄结构的稳定化需要 50–70 年，而这段时间人口会因惯性持续增长。实际的人口政策必须将该"滞后"纳入考量。

Воспроизводство населения人口再生产

Что такое воспроизводство населения什么是人口再生产

Определение定义

Зачем нужна модель为什么需要模型

Немного истории简要历史

Коэффициенты воспроизводства再生产率

Суммарный коэффициент рождаемости (TFR)总和生育率 (TFR)

Брутто-коэффициент (GRR)粗再生产率 (GRR)

Нетто-коэффициент воспроизводства (NRR, R₀)净再生产率 (NRR, R₀)

Истинный коэффициент естественного прироста $r$ (коэффициент Лотки)内在自然增长率 $r$（洛特卡系数）

Разложение $r$ по Preston (2001)按 Preston (2001) 分解 $r$

«Цена» простого воспроизводства $\rho$简单再生产"成本" $\rho$

Брутто-коэффициент и нетто-коэффициент воспроизводства粗再生产率与净再生产率 · Gross & Net Reproduction Rates · Брутто- и нетто-коэффициенты воспроизводства

Подсказка提示

Правильный ответ — Россия 2000标准答案 — 俄罗斯 2000

Модель стабильного населения稳定人口模型 · Stable Population Model · Модель стабильного населения

Уравнение Лотки洛特卡方程 · Lotka’s equation · Уравнение Лотки

Теорема 定理 Лотки–Шарпа (1911)

Свойство эргодичности遍历性 · Ergodicity · Эргодичность

Сильная эргодичность强遍历性 · Strong ergodicity · Сильная эргодичность (Лотка)

Слабая эргодичность弱遍历性 · Weak ergodicity · Слабая эргодичность (Коул, Лопес)

Стабильный эквивалент реального населения实际人口的稳定等价 · Stable equivalent of real population · Стабильный эквивалент реального населения

Метод Коула для расчёта 科尔 (Coale) 求解方法 $r$

Интерактив: эргодичность — как население «забывает» исходную структуру互动：遍历性——人口如何"遗忘"初始结构

Модель стационарного населения静止人口模型 · Stationary Population Model · Модель стационарного населения

Таблица смертности = стационарное население生命表 = 静止人口

Ключевые равенства关键等式

Пример: «Буфет с соком»示例："果汁自助餐厅"

Постановка в терминах стационарного населения

用静止人口术语的表述

Решение по таблице смертности

用生命表求解

Ответы

解答

Применения модели стационарного населения静止人口模型的应用

Momentum: инерция роста населения人口增长惯性 · Population growth momentum · Импульс (momentum) роста населения

Таблица 7.6 Preston — momentum по регионам (если в 1997 г. ввести NRR = 1)

Preston 表 7.6 —— 各区域增长惯性（若 1997 年设 NRR = 1）

Практические задачи习题

Проверить себя自测

показатель	формула	подстановка	ответ
指标	公式	代入	答案
GRR	$\mathrm{TFR}\cdot\dfrac{100}{100+\mathrm{SRB}}$	1,8 · 100/205	0,878
NRR	$\mathrm{GRR}\cdot p(\mathrm{MAF})$	0,878 · 0,96	0,843
r	$\dfrac{\ln \mathrm{NRR}}{T}$	ln(0,843)/28	−6,1 ‰/год
$\rho$ — цена	$\mathrm{GRR}/\mathrm{NRR}$	0,878 / 0,843	1,042

шаг	$r_n$	$\psi(r_n)$	поправка	$r_{n+1}$
步	$r_n$	$\psi(r_n)$	修正	$r_{n+1}$
0	0,01569	0,95838	−0,00154	0,01415
1	0,01415	1,00289	+0,00011	0,01425
2	0,01425	0,99973	−0,00001	0,01424
3	0,01424	1,00002	≈0	сходится收敛

Что такое воспроизводство населения什么是人口再生产

Определение定义

Зачем нужна модель为什么需要模型

Немного истории简要历史

Коэффициенты воспроизводства再生产率

Суммарный коэффициент рождаемости (TFR)总和生育率 (TFR)

Брутто-коэффициент (GRR)粗再生产率 (GRR)

Нетто-коэффициент воспроизводства (NRR, R0)净再生产率 (NRR, R₀)

Истинный коэффициент естественного прироста $r$ (коэффициент Лотки)内在自然增长率 $r$（洛特卡系数）

Разложение $r$ по Preston (2001)按 Preston (2001) 分解 $r$

«Цена» простого воспроизводства $\rho$简单再生产"成本" $\rho$

Брутто-коэффициент и нетто-коэффициент воспроизводства粗再生产率与净再生产率 · Gross & Net Reproduction Rates · Брутто- и нетто-коэффициенты воспроизводства

Подсказка提示

Правильный ответ — Россия 2000标准答案 — 俄罗斯 2000

Модель стабильного населения稳定人口模型 · Stable Population Model · Модель стабильного населения

Уравнение Лотки洛特卡方程 · Lotka’s equation · Уравнение Лотки

Теорема 定理 Лотки–Шарпа (1911)

Свойство эргодичности遍历性 · Ergodicity · Эргодичность

Сильная эргодичность强遍历性 · Strong ergodicity · Сильная эргодичность (Лотка)

Слабая эргодичность弱遍历性 · Weak ergodicity · Слабая эргодичность (Коул, Лопес)

Стабильный эквивалент реального населения实际人口的稳定等价 · Stable equivalent of real population · Стабильный эквивалент реального населения

Метод Коула для расчёта 科尔 (Coale) 求解方法 $r$

Интерактив: эргодичность — как население «забывает» исходную структуру互动：遍历性——人口如何"遗忘"初始结构

Модель стационарного населения静止人口模型 · Stationary Population Model · Модель стационарного населения

Таблица смертности = стационарное население生命表 = 静止人口

Ключевые равенства关键等式

Пример: «Буфет с соком»示例："果汁自助餐厅"

Постановка в терминах стационарного населения

用静止人口术语的表述

Решение по таблице смертности

用生命表求解

Ответы

解答

Применения модели стационарного населения静止人口模型的应用

Momentum: инерция роста населения人口增长惯性 · Population growth momentum · Импульс (momentum) роста населения

Таблица 7.6 Preston — momentum по регионам (если в 1997 г. ввести NRR = 1)

Preston 表 7.6 —— 各区域增长惯性（若 1997 年设 NRR = 1）

Практические задачи习题

Проверить себя自测

Нетто-коэффициент воспроизводства (NRR, R₀)净再生产率 (NRR, R₀)